事務所通信第243号　アクチュアリーKKT | 事務所通信 | 【動画で紹介】大阪で税理士との顧問契約ならTK税務＆法務事務所

第243号　アクチュアリーKKT

βを求める。

１　リスクフリーレート求める。

状態価格の合計＝現在価格÷（１＋リスクフリーレート）

状態価格を求めるには、状態の数と同数の資産の数が必要

状態価格とは、状態iが起きたときに１円貰える証券の現在価値

２　リスク中立確率を求める。

状態iのリスク中立確率＝状態価格i×（１＋リスクフリーレート）

つまり、状態価格i＝状態iのリスク中立確率÷（１＋リスクフリーレート）

３　現在の有価証券の価格を求める。

現在の有価証券の価格＝各状態における有価証券の価格×状態価格の合計

４　リスクプレミアムを求める。

有価証券の期待リターンは、各状態における有価証券の価格×生起確率の合計÷現在の有価証券の価格－１

リスクプレミアム＝期待リターンーリスクフリーレート

５　市場ポートフォリオの期待リターンを求める。

市場ポートフォリオの現在の価格＝各状態の価格×状態価格の合計

期待リターン＝各状態の価格×生起確率の合計÷現在の価格－１

６　有価証券のβを求める。

E(R)－ｒ＝β（E(Rm)－ｒ）から

ベータ＝有価証券のリスクプレミアム÷市場ポートの期待リターンのプレミアム

債権分析

１　クーポンレートから現在の価格を求める。

クーポンと各期間のスポットレートから現在の価格を求める。

２　直接利回りを求める

クーポンを現在の価格で除す。

３　1年後の価格を求める。

2年債として価格を求める。

４　1年後に売却した場合の保有期間利回りを求める。

収入はクーポンと売却価格であり、取得価額で除す。

５　満期まで期間4年のパー債券の複利最終利回りを求める。

クーポンをＸとして現在の価格がパーとなる利回りを求める。

６　上記パー債券について、期中に支払われるクーポンが２％の利回りでしか再投資できないと考えた場合の実効利回りを求める。

クーポン×（１＋２％）３＋・・・＋クーポン×（１＋２％）０＋額面

そうすると、（１＋実効利回り）４＝（（1＋２％）４―１）÷２％にクーポンを乗したものに１を加算したものとなる。

株式投資分析

１　現在の株式価値を求める

１株当りの配当（DPS）＝株主資本×ROE×配当性向÷発行済み株式数

サスティナブル成長率＝内部留保率×ROE

株式価値＝DPS／（株主資本コスト－サスティナブル成長率）

２　１年間の期待投資収益率を求める

DPS×（１＋サスティナブル成長率）／（株主資本コスト－サスティナブル成長率）

１年間の投資収益は、配当と１年後の株式価値の合計を現在の株式価値で割る

３　配当率を変更して、成長率の10％を達成する場合の現在の株価を求める

サスティナブル成長率10％＝ROE×（１－配当性向）
DPS＝株主資本×ROE×見直した配当性向／株式数

新しい株式価値＝DPS／（株主資本コスト－新しいサスティナブル成長率）

４　配当性向を維持しつつ、毎年の利益成長率10％を達成するために毎期不足分を増資することとする。毎期増加する株式数を求める。

（１＋利益成長率）＝（１＋サスティナブル成長率）×（１＋株式数の増加率）

時価発行増資ってことやね

５　上記の場合の既存株主の株式持分の希薄化を考慮して、現在の株式価値を求める。

発行済み株式数の増加により、将来の配当の一部は新規の株主に帰属することとなる。

そのため、既存の株主の１株当りの配当は、新たな利益成長率の10％ではなく、既存のサスティナブル成長率となる。

したがって、株式増加による既存株主の株式持分の希薄化を考慮して計算した現在の株式の価値は、従来の価値のままとなる。

つまり、希薄化すると、企業全体では10％で成長するが、既存株主にとってはサスティナブル成長率のままとなる。　

株式投資分析

２年間、毎期の税引後事業利益の35％（再投資率）を再投資（ネット投資）する

１　フリーキャッシュフローを求める。

投下資本×投下資本利益率＝税引後事業利益

ネット投資＝設備投資－減価償却費

成長率＝投下資本利益率×（１－再投資率）

初年度キャッシュフロー＝税引後事業利益－ネット投資

２　加重平均コストを求める

資産コスト＝株主資本コスト×（１－負債比率）

負債コスト＝負債資本コスト×負債比率×（１－実効税率）

３　企業価値を求める

FCF＝税引後事業利益－ネット投資

ディスカウントファクターｔ＝１／（１＋加重平均コスト）ｔ

１年目現在価値（税引後事業利益－ネット投資）／ディスカウントファクター１

２年目現在価値（税引後事業利益－ネット投資）／ディスカウントファクター２

２年目の税引後事業年度は１年目の再投資×投下資本利益率を加算する

３年目以降現在価値（税引後事業利益＋投資額）／ディスカウントファクター３年以降

３年目以降の税引後事業年度は１年目の再投資に２年目の再投資を加算したものに投下資本利益率を乗じたものを加算する。

３年目以降のディスカウントファクター３年以降は、１／加重平均コスト×２年目のディスカウントファクター２

これら各現在価値を合計したものが現在のFCF現在価値であり、DCFによる企業価値評価である。

デリバティブ投資分析

１　株価指数先物の精算利益を求める。

株式指数先物を売り建てていて、反対売買されずに取引最終日まで売り建玉のまま保有していたところ、取引最終日の最終清算指数が下落したこの場合、損益はどうなるか。

損益は、売り建てていた価格を下回ったたて、その差額が利益となる。

２　ある株式先物指数の満期までの配当利回りが１％の場合の現在の理論価格を求める。

現在価格×（リスクフリーレートー配当利回り）×満期までの日数＝先物価格

ブラック・ショールズ・モデル

ブラック・ショールズ・モデルとは、原資産が対数正規分布に従い、無リスク金利が一定であるとの仮定のもとで、オプションの価格を解析的に求めた式である。ブラック・ショールズ・モデルは、二項モデルにおいてオプションの満期までの期間Tを所与としたうえで、それを区分する期間の数を非常に大きくした場合の極限と一致することが知られている。

株式に配当がなく、現在の株価がＳ０（T年後の株価はS１）原資産価格のボラティリティが年率σ、無リスク金利が連続複利表現で年率ｒである場合、期間Ｔ年、行使価格Ｋのヨーロピアン・コール・オプションの価格Ｃは、ブラック・ショールズ・モデルによって次のように与えられる

Ｃ＝Ｓ０Ｎ（ｄ１）－Ｋe-rTＮ（ｄ２）

ただし、ｄ１＝（ｌｎ（Ｓ０／Ｋ）＋（ｒ+σ2/ ２）Ｔ）／σ√Ｔ

　　　　ｄ２＝ｄ１－σ√Ｔ

であり、ｌｎ（・）は自然対数、Ｎ（・）は標準正規分布の累積分布関数である。上式は、以下のように解釈できる。

Ｎ（ｄ２）は、リスク中立確率のもとで、コール・オプションが満期にイン・ザ・マネーとなる確率

Ｓ０Ｎ（ｄ１）は、リスク中立確率のもとで、コール・オプションが満期にイン・ザ・マネーのときにＳ１、それ以外のときに０となる変数の期待値の現在価値

投資理論（効用）

賞金が確率0.7で100円、0.3で40円になるくじＸがある。

投資家Ｙの効用関数u1(X)＝600ｘ－ｘ２

投資家Zの効用関数u２(X)＝ｗｘ－ｘ２

１　投資家ＹにとってのくじＸの期待効用を求める

0.7×(600×100－100×100)＋0.3×(600×40－40×40)＝41,720

２　投資家ＹにとってのくじＸの確実等価額を求める。

600Ｘ－Ｘ２＝41,720　　Ｘ＝80.3

３　投資家ＹにとってのくじＸのリスク・ディスカウントを求める。

期待値0.7×100＋0.3×40＝82

期待値－確実等価額＝リスク・ディスカウント　　82－80.3＝1.7

４　賞金80円における、投資家Ｙのリスク回避度を求める。

リスク回避度＝－u1(X)’’/ u1(X)’＝▲－2／(600－2X)＝0.45%

５　投資家Ｚが投資家Ｙよりもリスク回避的の場合のｗの取り得る範囲を求める

投資家Ｙは、▲－2／(600－2X)

投資家Ｚは、▲－2／(ｗ－2X)

投資家Ｚの方がリスク回避度が大きいので、結局は、ｗが600よりも小さいこととなる。

ファンドパフォーマンス

１　相関係数からβを求める。

β＝共分散／市場の分散

相関係数＝共分散／（市場の標準偏差・ポートの標準偏差）

そうすると、β＝相関係数・（市場の標準偏差・ポートの標準偏差）／市場の分散

そして、β＝相関係数・ポートの標準偏差／市場の標準偏差

２　ファンドの分散のうちに非市場リスクによる分散の占める割合を求める。

ポートのトータルリスク＝市場リスク＋非市場リスク

ポートの分散＝β２・市場の分散＋非市場の分散

したがって、非市場の分散／ポートの分散＝１－β２・市場の分散／ポートの分散

３　ジェンセンのαを求める。

ファンドのリターン＝α＋リスクフリーレート＋β・（市場レート－リスクフリーレート）

したがって、α＝（ファンドのリターンーリスクフリーレート）－β・（市場レート－リスクフリーレート）

４　株式ファンド70％と安全資産30％のポートの標準偏差を求める。

√ｗ１２株式ファンドの標準偏差２

安全資産の標準偏差と安全資産との相関係数はゼロのため

５　株式ファンドのシャープ比を求める。

シャープ比＝（ファンドリターン－安全資産リターン）／ファンドの標準偏差

状態価格

最終的にはリスクプレミアムを算出する。

１　状態価格を求める。

各状態の価格に状態価格を乗じたものの合計が現在の価格になる。

有価証券ごとに計算式を作成し、連立方程式を解いたものが、各状態価格と各状態の価格となる。

２　リスクフリー・レートを求める

１を１＋リスクフリー・レートで割ったものが各状態価格の合計である

３　リスク・プレミアムを求める

各状態の価格に各状態の生起確率を乗じたものを合計したものと現在の価格との差額が、利益であるから、これを現在の価格で割ったものが利率であり、そこからリスクフリーレートを控除したものがリスク・プレミアムである。

４　コール・オプション価格を求める。

１年後の状態別に、行使価格との差額を１年後のキャッシュフローとする、ただし行使価格を下回った場合は、０となる。

このキャシュフローに状態価格を乗じた合計がコール・オプションの価格となる。

５　先物の現在の価格を求める。

１年後の状態別に、約定受渡価格との差額を１年後のキャッシュフローとする、ただし約定価格を下回った場合は、マイナスとなる。

６　現在の先物価格を求める。

先物価格＝現物価格×（１＋リスク・フリーレート）

債券投資分析

金利の期間構造

純粋期待仮説とは、フォワード・レートは、市場参加者の将来金利の予想値を表すとする説である。

流動性プレミアム仮説とは、金利の期間構造は、将来金利に関する市場予測と、保有する債券のリスクに伴うリスク・プレミアムも２つで説明され、リスク・プレミアムは一般に長期債ほど大きいとする説である。

特定流動性選好仮説とは、金利構造は、将来金利に関する市場予測と、保有する債券のリスクに伴うリスク・プレミアムの２つで説明されるものの、リスク・プレミアムは長期債ほど大きいとは限らない、という立場に立った仮説である。

期間ｎ年のスポット・レートが与えられている。

債券Ａは、クーポン・レート５％、フォワード・レートを用いて３年後の利払い日tyぅ後の価格が88.9円とする場合の現在の価格を求める。

現在の価格＝５／（１＋ｒ１）＋５／（１＋ｒ２）２＋（88.9＋５）／（１＋ｒ３）3

現在の価格が上記債券Ａと価格が等しくなる残存期間３年のクーポン・レートを求める。

上記の価格＝Ｃ／（１＋ｒ１）＋Ｃ／（１＋ｒ２）２＋（100＋C）／（１＋ｒ３）3

債券Ｂは残存期間１年クーポン・レート10％、債券Ｃは残存期間2年クーポン・レート20％、発行企業が倒産した場合の回収率は０％、債券Ｂ，Ｃの現在価値が95円とすると、1年後ではなく、２年後にデフォルトする確率を求める。

まず、現在95円で、１年後にデフォルトしている確率をｐ１とすると、1年後にデフォルトしていない確率（１－ｐ１）×110円／（１＋ｒ１）、

デフォルトの場合、0円で確率がp１。

そうすると、債券Ｂから、（１－ｐ１）×110円／（１＋ｒ１）＝95円で、p１＝12.7％となる。

次に、債券Ｃについて、1年後にデフォルトしないので、クーポン20円を受け取ることとなる。

20円の現在の価値は、（１－ｐ１）×20円／（１＋ｒ１）となる。

2年後には、100円とクーポン20円が貰えるので、120円に2年後にデフォルトしている確率をｐ２とすると、（１－ｐ２）×120円／（１＋ｒ２）２

これを合計したものが、現在価値の95円となる。

つまり、（１－ｐ１）×20円／（１＋ｒ１）＋（１－ｐ１）×（１－ｐ２）×120円／（１＋ｒ２）２＝95円

となる。そうすると、2年後に初めてデフォルトする確率は、（１－ｐ１）×（１－ｐ２）となる。

債券ＣのＴスプレッドを求める。

債券Ｃと同一期間、同一クーポンレートの国債の最終利回りは2.3％である。

20／（１＋ｒ）＋120／（１＋ｒ）２＝95　Tスプレッド＝ｒ－2.3

債券Ｄのコンベキシティを求める。

１％の金利下落で価格が1.945％の上昇

１％の金利上昇で価格が1.889％の下落

1.945＝△（△１％）×Ｄ＋1/2（△１％）２×ＣＶ

△1.889＝△１％×Ｄ＋1/2（１％）２×ＣＶ

株式投資分析

株主資本コストを求める。

株主資本コスト＝リスクフリーレート＋β×マーケット・リスクプレミアム

ゼロ配当する場合の株式の本源的価値を求める。

株式価値＝配当／（株主資本コストーサスティナブル成長率）

サスティナブル成長率＝ROE×（１－配当率）

全額配当するので、サスティナブル成長率はゼロとなる。

利益の60％を配当する場合の株式価値を求める。

株式価値＝利益×0.6／（株主資本コスト－ROE×0.4）

PBRを求める。

PER＝株価／1株当り当期予想純利益

PBR＝株価／１株当り純資産＝株価／1株当り当期予想純利益×1株当り当期予想純利益／１株当り純資産＝PER×ROE

残余利益法により本源的価値を求める。

まず、残余利益を求める。

残余利益＝1株当り当期予想純利益－1株当り当期期首純資産×株主資本コスト

結局予想超過利益か

この残余利益がサスティナブル成長率で成長するため、本件的価値＝1株当り当期期首純資産＋配当／（株主資本コスト－サスティナブル成長率）

定率成長配当割引モデルにより、配当利回りを求める。

配当利回り＝1株当り配当／株価

定率成長配当割引モデルによると、

株価＝1株当り配当／（株主資本コスト－サスティナブル成長率）

そうすると、配当利回り＝株主資本コスト－サスティナブル成長率

デリバティブ分析

株価指数先物の価格を求める。

株価指数先物の価格＝現時点の価格×（１＋（リスクフリーレート－配当利回り））×満期までの日数／365

将来の株価指数が理論値よりも高い場合、借入金により、現物を買い、先物を売ると利益がでる。

ドル先渡為替レートを求める。

直物為替レート×（１＋円金利×日数／360）＝先物為替レート×（１＋ドル金利×日数／360）

デリバティブ分析

リスク中立確率を求める

ｗＡ＋（１－ｗ）Ｂ＝現時点時価×（１＋リスクフリーレート）

ｗ＝リスク中立確率

オプションの価値を求める

オプション行使による利益にリスク中立確率を乗じてオプションの価値

初期時点のオプションの価値を求める。

中間時点のオプションの価値にリスク中立確率を乗じて初期時点のオプションの価値を求める。

オプションの複合

コールの買い＝原資産＋オプションの売り

ストラドルの売り　原資産のボラタリティが下落を予想した場合の、同行使価格のコールとプットを売る戦略

投資理論

相関係数を求める。

各資産の標準偏差から合成資産の分散を求める式を作成。

次にこの式の構成割合変数を微分して、その式に構成割合の結果を代入して相関係数を求める。

安全資産がある場合の標準偏差を求める。

危険資産の構成割合をXとして合成資産の平均リターンを算出する

次に合成資産の分散の式に上記Xの結果を代入する。この式に標準偏差としてXで微分する。そして当該式と有効フロンティアの傾きが同じとして、平均リターンの値を求める

投資理論

株式Aの期待リターンを求める

期待リターン＝β×（マーケット・リターン－リスク・フリーレート）＋リスク・フリーレート

株式Aのトータル・リスクを求める

トータル・リスク２＝β２マーケット・リスク２＋非市場リスク２

株式Aのシャープ比を求める

シャープ比＝（期待リターン－リスク・フリーレート）／トータル・リスク

β＝トータル・リスク／マーケット・リスク×相関係数

相関係数がわかるとβが算出できる。βがわかると期待リターンで算出できる

株式Aと株式Bの投資割合50％のポートのトータル・リスクを求める

βは加重平均となる。非市場リスクも加重平均となる

ポートの非市場リスク２＝投資割合２×（A非市場リスク２＋B非市場リスク２）

そうすると、ポートのトータル・リスク２＝β２×マーケット・リスク２＋ポートの非市場リスク２

CAMPの成立を仮定すると、安全資産がない場合であっても、市場の均衡状態においてマーケット・ポートは効率的ポートである。

市場が均衡状態にあれば、市場で取引される証券から構築される任意のポートのリスクプレミアムは、βとリスクプレミアムの関係をグラフで表すと１本の直線上に位置する。

市場は市場関連リスクに対価を求めても、非市場関連リスクには対価を求めない。

CAPMの実証研究におけるデータ・スヌーピング・バイアスとは、発見されたアノマリーをより強くみせるようなデータの切り口に沿ってデータに統計的分析をかけることにより、実際のマーケットではCAPMが成立していても、データ分析では棄却されやすくなるバイアスが生じることである。

投資理論

状態価格を求める

それぞれの有価証券の現時点の価格＝各状態の価格×状態価格の合計

ここから、各状態価格を算出する。

連立方程式　リスク・フリーレートを求める。

状態価格の合計に（１＋リスクフリー・レート）＝１となる。

リスク・プレミアムを求める。

A株式の各状態の価格に生起確率を乗じて合計した金額を現在の価格で割って期待リターンを求める。期待リターンからリスクフリー・レートを減算したものがリスク・プレミアムとなる。

リスク中立確率を求める

状態価格×（１＋リスクフリー・レート）＝リスク中立確率

つまり、状態価格はリスク中立確率を（１＋リスクフリー・レート）で割ったものであるから、状態価格を乗ずるときは、すでにリスクフリー・レートで割っているから重ねて割ることはしない。

オプションの価格を求める。

権利行使価格からオプションの満期日のキャッシュ・フローを求めこれに状態価格を乗じた合計がオプションの価格となる。